Chứng minh rằng: \(M=\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{3}{3^4}+...+\frac{10}{3^{11}}< \frac{1}{4}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho M = \(\frac{1}{3^2}\)+\(\frac{2}{3^3}\)+\(\frac{3}{3^4}\)+...\(\frac{10}{3^{11}}\)
Chứng minh rằng : M<\(\frac{1}{4}\)
\(M=\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+...+\frac{10}{3^{11}}\)
\(\Rightarrow3M=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+...+\frac{10}{3^{10}}\)
\(\Rightarrow3M-M=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{2}{3^3}+...+\frac{10}{3^{10}}-\frac{9}{3^{10}}-\frac{10}{3^{11}}\)
\(\Rightarrow2M=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{10}}-\frac{10}{3^{11}}=A-\frac{10}{3^{11}}\)
\(A=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^9}+\frac{1}{3^{10}}\)
\(\Rightarrow3A=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^9}\)
\(\Rightarrow3A-A=1-\frac{1}{3^{10}}\)
\(\Rightarrow2A=1-\frac{1}{3^{10}}\Rightarrow A=\frac{1}{2}-\frac{1}{2.3^{10}}\Rightarrow A< \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow2M=A-\frac{10}{3^{11}}< A< \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow M< \frac{1}{4}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
1. cho A = \(\frac{4}{3}+\frac{7}{3^2}+\frac{10}{3^3}+...+\frac{301}{3^{100}}\)chứng minh: A< \(\frac{11}{4}\)
2. cho B = \(\frac{11}{3}+\frac{17}{3^2}+\frac{23}{3^3}+...+\frac{605}{3^{100}}\)chứng minh: B<7
3. cho C = \(\frac{4}{3}+\frac{13}{3^2}+\frac{22}{3^3}+...+\frac{904}{3^{101}}\)chứng minh: C<\(\frac{17}{4}\)
a) \(A=\frac{4}{3}+\frac{7}{3^2}+\frac{10}{3^3}+...+\frac{301}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow3A=4+\frac{7}{3}+\frac{10}{3^2}+...+\frac{301}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow3A-A=\left(4+\frac{7}{3}+\frac{10}{3^2}+...+\frac{301}{3^{99}}\right)-\left(\frac{4}{3}+\frac{7}{3^2}+...+\frac{301}{3^{100}}\right)\)
\(\Rightarrow2A=4+1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{301}{3^{100}}\)
Đặt \(F=1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{98}}\)
\(\Rightarrow3F=3+1+...+\frac{1}{3^{97}}\)
\(\Rightarrow3F-F=\left(3+...+\frac{1}{3^{97}}\right)-\left(1+...+\frac{1}{3^{98}}\right)\)
\(\Rightarrow2F=3-\frac{1}{3^{98}}< 3\)
\(\Rightarrow F< \frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow2A< 4+\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow2A< \frac{11}{2}\)
\(\Rightarrow A< \frac{11}{4}\left(đpcm\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
2. \(B=\frac{11}{3}+\frac{17}{3^2}+\frac{23}{3^3}+...+\frac{605}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow3B=11+\frac{17}{3}+\frac{23}{3^2}+...+\frac{605}{3^{99}}\)
\(\Rightarrow3B-B=\left(11+...+\frac{605}{3^{99}}\right)-\left(\frac{11}{3}+...+\frac{605}{3^{100}}\right)\)
\(\Rightarrow2B=11+2+\frac{2}{3}+...+\frac{2}{3^{98}}-\frac{605}{3^{100}}\)
Đặt \(D=2+\frac{2}{3}+...+\frac{2}{3^{98}}\)
\(\Rightarrow3D=6+2+...+\frac{2}{3^{97}}\)
\(\Rightarrow2D=6-\frac{2}{3^{98}}< 6\)( làm tắt )
\(\Rightarrow2D< 6\)
\(\Rightarrow D< 3\)
\(\Rightarrow2B< 11+3\)
\(\Rightarrow2B< 14\)
\(\Rightarrow B< 7\left(đpcm\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Phần cuối cũng tương tự 2 phần mình vừa làm nhé
Bạn tự làm nốt nhé đánh mệt lắm
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh :
a) frac{1}{3}-frac{2}{3^2}+frac{3}{3^3}-frac{4}{3^4}+...+frac{99}{3^{99}}-frac{100}{3^{100}} frac{3}{16} frac{1}{3}-frac{2}{3^2}+frac{3}{3^3}+frac{4}{4^4}+...+frac{99}{3^{99}}-frac{100}{3^{100}} frac{3}{16}
b)frac{1}{41}+frac{1}{42}+frac{1}{43}+...+frac{1}{79}+frac{1}{80} frac{7}{12}
c) Cho Sfrac{3}{10}+frac{3}{11}+frac{3}{12}+frac{3}{13}+frac{3}{14}
Chứng minh 1 S 2
Đọc tiếp
Chứng minh :
a) \(\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+...+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}< \frac{3}{16}\) \(\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+\frac{4}{4^4}+...+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}< \frac{3}{16}\)
b)\(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+\frac{1}{43}+...+\frac{1}{79}+\frac{1}{80}< \frac{7}{12}\)
c) Cho \(S=\frac{3}{10}+\frac{3}{11}+\frac{3}{12}+\frac{3}{13}+\frac{3}{14}\)
Chứng minh \(1< S< 2\)
Cho M =\(\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+...+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\) .Hãy chứng minh M<\(\frac{3}{16}\)
Câu 2 Chứng minh rằng :
\(\frac{1}{7^2}-\frac{1}{7^4}+...+\frac{1}{7^{98}}-\frac{1}{7^{100}}< \frac{1}{50}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh rằng \(\frac{1}{3\sqrt[2]{2}}+\frac{1}{4\sqrt[3]{3}}+\frac{1}{5\sqrt[3]{4}}+.....+\frac{1}{1000\sqrt[3]{999}}< \frac{11}{5}\)
Bài 1:So sánh Avà B biết rằng:
Afrac{10^{15}+1}{10^{16}+1}; Bfrac{10^{16}+1}{10^{17}+1}
Afrac{3}{8^3}+frac{7}{8^4}; Bfrac{7}{8^3}+frac{3}{8^4}
Afrac{1}{11}+frac{1}{12}+frac{1}{13}+.......+frac{1}{19}+frac{1}{20}; Bfrac{1}{2}
Bài 2:Dạng tính tổng đặc biệt:
Afrac{1}{1cdot2}+frac{1}{2cdot3}+frac{1}{3cdot4}+.....+frac{1}{99cdot100}
Bfrac{2}{1cdot3}+frac{2}{3cdot5}+frac{2}{5cdot7}+.....+frac{2}{99cdot101}
Cfrac{3^2}{10}+frac{3^2}{40}+frac{3^2}{88}+......+frac{3^2}{340}
Dfrac{1}{...
Đọc tiếp
Bài 1:So sánh Avà B biết rằng:
A=\(\frac{10^{15}+1}{10^{16}+1};\) B=\(\frac{10^{16}+1}{10^{17}+1}\)
A=\(\frac{3}{8^3}+\frac{7}{8^4}\); B=\(\frac{7}{8^3}+\frac{3}{8^4}\)
A=\(\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+.......+\frac{1}{19}+\frac{1}{20};\) B=\(\frac{1}{2}\)
Bài 2:Dạng tính tổng đặc biệt:
\(A=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+.....+\frac{1}{99\cdot100}\)
\(B=\frac{2}{1\cdot3}+\frac{2}{3\cdot5}+\frac{2}{5\cdot7}+.....+\frac{2}{99\cdot101}\)
\(C=\frac{3^2}{10}+\frac{3^2}{40}+\frac{3^2}{88}+......+\frac{3^2}{340}\)
\(D=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+......+\frac{1}{3^8}\)
\(E=\left(1-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{3}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{4}\right).......\left(1-\frac{1}{99}\right)\)
Bài 3:Dạng chứng minh:
\(A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+......+\frac{1}{99}.\)Chứng minh rằng A chia hết cho 100
A=\(\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+...+\frac{1}{70}\).Chứng minh rằng A>\(\frac{4}{3}\)
Chứng minh rằng \(\frac{1}{3^1}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{3^4}+...+\frac{1}{3^{90}}-\frac{1}{3^{100}}<\frac{3}{10}\)
Chứng minh rằng : \(M=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+\frac{4}{3^4}+...+\frac{100}{3^{100}}<\frac{3}{4}\)
M = 1/3 + 2/3² + 3/3³ + 4/3^4 + ... + 100/3^100
=> 3M= 1 + 2/3 + 3/3² + 4/3³ + .... + 100/3^99
=> 3M-M = 1 + ﴾2/3 ‐ 1/3﴿ + ﴾3/3² ‐ 2/3²﴿ +...+ ﴾100/3^99 ‐ 99/3^99﴿ ‐ 100/3^100
=> 2M= 1+ 1/3 + 1/3² + 1/3³ +...+ 1/3^99 ‐ 100/3^100
Đặt N = 1/3 + 1/3² + 1/3³ +...+ 1/3^99
=> 3N = 1 + 1/3 + 1/3² + 1/3³ +...+ 1/3^98
=> 2N = 1 ‐ 1/3^99
=> N = ﴾1 ‐ 1/3^99﴿/2
Thay vào 2M
=> 2M= 1+ 1/2 ‐ 1/﴾2x3^99﴿ ‐ 100/3^100 < 1+ 1/2 = 3/2
=> M < 3/4
vậy...
Đúng 0
Bình luận (0)
Bài này công nhận là dễ , nhưng khi nãy bận ăn cơm , xin lỗi ha!! Hứa lần sau sẽ giải cho!!!
Đúng 0
Bình luận (0)
Nguyễn Ngọc Quý ukm, lần sau tui đăng bài khác lên cho mà giải
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
bài 1:tìm n biết: 5n+7 chia hết 3n+2bài 2:1, tìm chữ số tận cùng của:a,57^1999b,93^19992, Cho A 999993^1999 - 555557^1997chứng minh rằng: A chia hết cho 5bài 3:chứng minh rằng:a) frac{1}{2}-frac{1}{4}+frac{1}{8}-frac{1}{16}+frac{1}{32}-frac{1}{64} frac{1}{3}b)frac{1}{3}-frac{2}{3^2}+frac{3}{3^3}-frac{4}{3^4}+...+frac{99}{3^{99}}-frac{100}{3^{100}} frac{3}{16}Bài 5:Tìm x biết:a)11.(x-6)4.x+11b)4frac{1}{3}.left(frac{1}{6}-frac{1}{2}right)le xlefrac{2}{3}.left(frac{1}{2}-frac{1}{3}-frac{1}{4}right)...
Đọc tiếp
bài 1:
tìm n biết: 5n+7 chia hết 3n+2
bài 2:
1, tìm chữ số tận cùng của:
a,57^1999
b,93^1999
2, Cho A= 999993^1999 - 555557^1997
chứng minh rằng: A chia hết cho 5
bài 3:chứng minh rằng:
a) \(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\frac{1}{32}-\frac{1}{64}< \frac{1}{3}\)
b)\(\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+...+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}< \frac{3}{16}\)
Bài 5:Tìm x biết:
a)11.(x-6)=4.x+11
b)\(4\frac{1}{3}.\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{2}\right)\le x\le\frac{2}{3}.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)\)với x\(\in\)Z
c)|x-3|+1=x
Bài 3:
a,Đặt A = \(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\frac{1}{32}-\frac{1}{64}\)
A = \(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}-\frac{1}{2^6}\)
2A = \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}-\frac{1}{2^5}\)
2A + A = \(\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}-\frac{1}{2^5}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}-\frac{1}{2^6}\right)\)
3A = \(1-\frac{1}{2^6}\)
=> 3A < 1
=> A < \(\frac{1}{3}\)(đpcm)
b, Đặt A = \(\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+...+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)
3A = \(1-\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}-\frac{4}{4^3}+...+\frac{99}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\)
3A + A = \(\left(1-\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}-\frac{4}{4^3}+...+\frac{99}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\right)-\left(\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+...+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\right)\)
4A = \(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)
=> 4A < \(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}\) (1)
Đặt B = \(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}\)
3B = \(3-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{97}}-\frac{1}{3^{98}}\)
3B + B = \(\left(3-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{97}}-\frac{1}{3^{98}}\right)+\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}\right)\)
4B = \(3-\frac{1}{3^{99}}\)
=> 4B < 3
=> B < \(\frac{3}{4}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra 4A < B < \(\frac{3}{4}\)=> A < \(\frac{3}{16}\)(đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
bài 1:
5n+7 chia hết cho 3n+2
=> [3(5n+7) - 5(3n + 2)] chia hết cho 3n+2
=> (15n + 21 - 15n - 10) chia hết cho 3n+2
=> 11 chia hết cho 3n + 2
=> 3n + 2 thuộc Ư(11) = {1;-1;11;-11}
Ta có bảng:
| 3n + 2 | 1 | -1 | 11 | -11 |
| n | -1/3 (loại) | -1 (chọn) | 3 (chọn) | -13/3 (loại) |
Vậy n = {-1;3}
Đúng 0
Bình luận (0)
Bài 2:
1, chữ số tận cùng
a, Xét 71999
Ta có: 71999 = 71996.73 = (74)499.343 = (...1)499.343 = (....1).343 = ....3 (1)
Vậy số 571999 có tận cùng là 3
b, Xét 31999
Ta có: 31999 = 31996.33 = (34)499.27 = (...1)499.27 = (...1) . 27 = ....7 (2)
Vậy số 931999 có chữ số tận cùng là 7
2,
Từ (1) và (2) suy ra A = 9999931999 + 5555571999 = ...7 + ...3 = ....0
Vì A có chữ số tận cùng là 0 nên A chia hết cho 5.
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời